把 1/√2 分母有理化後是 √2 / ？

分子分母同乘 √2。 (1×√2)/(√2×√2) = √2/2 答案：2

把 1/(√3 + 1) 有理化後，分母是多少？

分子分母同乘共軛式 (√3 − 1)。分母：(√3+1)(√3−1) = 3 − 1 = 2 答案：2

找兩數和為 3、積為 2 → 1 和 2。 3 + 2√2 = (1 + √2)² 所以是 1 + √2。答案：2

高一上🔢 數與量

分子分母同乘共軛式 (√3 − 1)。 分母：(√3+1)(√3−1) = 3 − 1 = 2 答案：2

找兩數和為 3、積為 2 → 1 和 2。 3 + 2√2 = (1 + √2)² 所以是 1 + √2。 答案：2

Radical Operations and Rationalization

公式

1/√a = √a/a　｜　1/(√a+√b) = (√a−√b)/(a−b)

分母有根號時乘以共軛式消掉它。雙重根號則想辦法湊成完全平方。

先修

國中學過最簡根式，高中要處理更複雜的情況。

**分母有理化**的目的是把根號從分母移走，這樣才好估計大小、也好做後續運算。分母是單一根式時，分子分母同乘那個根式：1/√2 = √2/2。

分母是兩項時要乘**共軛式**（把中間的符號反過來），利用平方差把根號消掉： 1/(√3 + 1) 分子分母同乘 (√3 − 1)，得 (√3 − 1)/(3 − 1) = (√3 − 1)/2。

**雙重根號**（根號裡還有根號）的化簡靠一個技巧：把被開方數湊成完全平方。 √(3 + 2√2) 中，注意 3 = 1 + 2、2√2 = 2·√1·√2，所以裡面是 (1 + √2)²，因此答案是 1 + √2。

通式是 √(a + 2√b) = √m + √n，其中 m + n = a、mn = b。找 m、n 就是解一個二次方程式——換句話說，找兩個數相加是 a、相乘是 b。

化簡完務必檢查：√(3+2√2) ≈ √5.83 ≈ 2.414，而 1 + √2 ≈ 2.414 ✓。用近似值檢查是最快的驗算法。

化簡答案、比較根式大小、計算極限與三角函數值。

先自己算，再看解答——這樣才有效。

兩個正數的算術平均永遠不小於幾何平均，相等時才取等號。