f(x) = x³ − 2x + 1 除以 (x − 2) 的餘式是多少？

餘式 = f(2)。 f(2) = 8 − 4 + 1 = 5 答案：5

f(x) = x² + 3x − 4 除以 (x + 1) 的餘式是多少？

除式 x + 1 = x − (−1)，所以代 −1。 f(−1) = 1 − 3 − 4 = −6 答案：-6

高一上🧮 代數

Remainder Theorem and Synthetic Division

公式

f(x) ÷ (x − a) 的餘式 = f(a)

要知道除以 (x − a) 的餘數，直接把 a 代進去就好，不用真的做除法。

先修

多項式除法和整數除法結構一樣：f(x) = (x − a)·Q(x) + R，其中餘式 R 的次數必須比除式低。除式是一次式時，餘式就是一個常數。

把 x = a 代進上式，右邊第一項變成 0，於是 **R = f(a)**。這就是餘式定理——想知道餘數，代一個數就好。

**綜合除法**是把長除法簡化成只寫係數的做法：把 a 寫在左邊，係數橫排，第一個直接抄下來，之後每一步「乘 a 再加下一個係數」。最後一格就是餘數，前面幾格是商的係數。

注意兩件事：係數要**降冪排列**，缺項要**補 0**（例如 x³ + 2 要寫成 1, 0, 0, 2）。這是綜合除法最常見的失誤。

除式是 (ax − b) 這種形式時，餘式是 f(b/a)，因為要讓除式為 0 的是 x = b/a。

求餘數、判斷整除、因式分解高次多項式。

先自己算，再看解答——這樣才有效。

代進去等於 0，就代表那是一個因式。要猜根，先從常數項的因數猜起。