指數函數與對數函數的圖形

**指數函數** y = aˣ（a > 0, a ≠ 1）的圖形特徵： 永遠通過 (0, 1)（任何數的 0 次方是 1）； 值域是 y > 0，**永遠不會碰到或穿過 x 軸**（x 軸是水平漸近線）； a > 1 時遞增（愈來愈陡），0 < a < 1 時遞減。

**對數函數** y = log_a x 是它的反函數，所以圖形是指數函數沿 **y = x 對稱**翻過去的結果： 永遠通過 (1, 0)； 定義域是 x > 0，y 軸是鉛直漸近線； a > 1 時遞增，0 < a < 1 時遞減。

兩者的定義域與值域剛好交換——這是反函數的必然結果。指數的值域 y > 0 就是對數的定義域 x > 0。

**指數成長的威力**值得感受一下：2ˣ 在 x = 10 時是 1024，x = 20 時超過一百萬，x = 30 時超過十億。任何多項式成長最後都會被指數成長甩開，這是複利、疫情擴散、演算法複雜度的共同數學結構。

對數則相反，成長極慢：log₂ 1000000 只有約 20。所以它適合用來壓縮跨越好幾個數量級的資料（分貝、pH、地震規模都是對數尺度）。