|x − 3| = 5，較大的解是多少？

x 到 3 的距離是 5。 x = 3 + 5 = 8 或 x = 3 − 5 = −2。較大的是 8。答案：8

|x| < 4 的解範圍是 −4 < x < ？

距離小於 4，被夾在 −4 和 4 之間。答案：4

√(a²) = |a|。 |−5| = 5（不是 −5）。答案：5

高一上🔢 數與量

x 到 3 的距離是 5。 x = 3 + 5 = 8 或 x = 3 − 5 = −2。 較大的是 8。 答案：8

距離小於 4，被夾在 −4 和 4 之間。 答案：4

√(a²) = |a|。 |−5| = 5（不是 −5）。 答案：5

Real Numbers and Absolute Value

公式

|x − a| = x 到 a 的距離　｜　|x| < c ⟺ −c < x < c

把絕對值讀成「距離」，含絕對值的方程式與不等式就不必分類討論那麼多次。

先修

實數包含有理數（可寫成分數）與無理數（如 √2、π）。它們填滿整條數線，沒有空隙——這叫實數的完備性。

高中處理絕對值的關鍵，是把它從「去掉負號」升級成**距離**：|x − a| 就是數線上 x 到 a 的距離。有了這個觀點，很多題目可以直接看出答案。

|x − 3| = 5 就是「x 到 3 的距離是 5」，往左往右各一個，所以 x = 8 或 x = −2。不必展開分類討論。

不等式也一樣： **|x| < c ⟺ −c < x < c**（距離小於 c，被夾在中間）； **|x| > c ⟺ x < −c 或 x > c**（距離大於 c，往兩邊跑）。這兩個一個是「且」、一個是「或」，最常被寫反。想一下數線上哪一段被塗黑就不會錯。

還有一個常用性質：|a| ≥ 0 永遠成立，而且 |a|² = a²。這在處理根式時很有用——√(a²) = |a| 而不是 a，因為 a 可能是負的。

解絕對值方程式與不等式、估計誤差範圍、討論距離。

先自己算，再看解答——這樣才有效。