國二上🔢 數與量
平方根與根式
Square Roots and Radicals
公式
√a × √b = √(ab) ｜ √(a²b) = a√b
√a 是「平方等於 a 的正數」。化簡的關鍵是把完全平方數提到根號外。
白話解釋
如果一個數平方後等於 9，這個數可能是 3 或 −3，兩個都叫 9 的平方根。但**根號** √9 專指其中的**正**根，也就是 3。
這個區別很重要：「9 的平方根是 ±3」是對的，「√9 = ±3」是錯的。√ 這個符號本身只取正值。
**化簡根式**的做法是把被開方數拆成「完全平方數 × 其他」，再把完全平方數開出來： √12 = √(4 × 3) = 2√3。 要拆到根號裡再也沒有完全平方因數為止，這叫最簡根式。
**運算規則**：乘除可以直接合併（√2 × √3 = √6），但**加減不行**——只有同類根式（根號裡一樣）才能合併，就像同類項。√2 + √3 沒辦法再化簡，但 2√3 + 5√3 = 7√3。
**分母有理化**是把分母的根號消掉：1/√2 = √2/2（分子分母同乘 √2）。
什麼時候用
解二次方程式、算畢氏定理的邊長、圓與幾何的計算。
最容易錯的地方
- 寫成 √9 = ±3。
- 把 √2 + √3 併成 √5。
- 化簡沒化到底，例如 √12 只寫成 √(4×3)。
例題 · 3 題
先自己算，再看解答——這樣才有效。
- 1
化簡 √12，係數是多少？（答案形如 2√3 請填 2）
- 2
√2 × √8 = ？
- 3
2√3 + 5√3 = ？（答案形如 7√3 請填係數 7）