數列 3, 7, 11, … 的第 10 項是多少？

a₁ = 3，d = 4。 a₁₀ = 3 + (10−1)×4 = 3 + 36 = 39 答案：39

1 + 2 + 3 + … + 100 = ？

a₁ = 1、a₁₀₀ = 100、n = 100。 S = 100 × (1 + 100) ÷ 2 = 100 × 101 ÷ 2 = 5050 答案：5050

a₈ = 5 + (8−1)×3 = 5 + 21 = 26 答案：26

國二上🧮 代數

Arithmetic Sequences and Series

公式

aₙ = a₁ + (n−1)d　｜　Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2

每一項固定加同一個數叫等差。第 n 項只加了 (n−1) 次公差，不是 n 次。

先修

3, 7, 11, 15, … 每一項都比前一項多 4，這種數列叫**等差數列**，那個固定的差 4 叫**公差** d。

**一般項公式**：aₙ = a₁ + (n−1)d。最容易錯的就是這個 (n−1)。從第 1 項走到第 n 項，中間只跨了 n−1 步，所以只加了 n−1 個公差。第 10 項是 a₁ + 9d，不是 a₁ + 10d。

**求和公式**：Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2。這個公式有個很漂亮的來源（傳說是高斯小時候想出來的）：把數列正著寫一遍、倒著寫一遍相加，每一組的和都是 a₁ + aₙ，總共 n 組，所以總和的兩倍是 n(a₁ + aₙ)。

用它算 1 + 2 + … + 100：a₁ = 1、a₁₀₀ = 100、n = 100，所以 S = 100 × 101 ÷ 2 = 5050。

如果不知道 aₙ，可以先用一般項公式算出來，再代入求和公式。

找數列規律、算連續數的總和、堆疊與排列問題。

先自己算，再看解答——這樣才有效。

每一項固定乘同一個數。公比絕對值小於 1 時，無窮多項相加會收斂到一個有限值。

像推骨牌：先推倒第一張，再證明每一張倒了都會撞倒下一張。