等比數列 2, 6, 18, … 的第 5 項是多少？

a₁ = 2，r = 3。 a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162 答案：162

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … 的總和是多少？

a₁ = 1，r = 1/2，|r| < 1 收斂。 S = 1/(1 − 1/2) = 1/(1/2) = 2 答案：2

3 + 6 + 12 + 24 = 45 （或用公式：3(1−2⁴)/(1−2) = 3(−15)/(−1) = 45）答案：45

高一下🧮 代數

a₁ = 1，r = 1/2，|r| < 1 收斂。 S = 1/(1 − 1/2) = 1/(1/2) = 2 答案：2

3 + 6 + 12 + 24 = 45 （或用公式：3(1−2⁴)/(1−2) = 3(−15)/(−1) = 45） 答案：45

Geometric Sequences and Series

公式

aₙ = a₁rⁿ⁻¹　｜　Sₙ = a₁(1−rⁿ)/(1−r)　｜　S∞ = a₁/(1−r)（|r|<1）

每一項固定乘同一個數。公比絕對值小於 1 時，無窮多項相加會收斂到一個有限值。

先修

2, 6, 18, 54, … 每一項都是前一項的 3 倍，這是**等比數列**，公比 r = 3。

**一般項** aₙ = a₁rⁿ⁻¹。跟等差一樣，指數是 n−1 不是 n——從第 1 項走到第 n 項只乘了 n−1 次公比。

**有限項求和** Sₙ = a₁(1−rⁿ)/(1−r)，r ≠ 1。這個公式的推導很巧妙：把 Sₙ 和 rSₙ 相減，中間的項全部消掉，只剩頭尾。

**無窮等比級數**是高中最迷人的結果之一。當 **|r| < 1** 時，rⁿ 隨 n 增大會趨近 0，於是總和收斂到 **S∞ = a₁/(1−r)**。

所以 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1/(1−1/2) = 2。無限多個正數相加，總和竟然是有限的。這也是 0.999… = 1 的嚴格解釋：它是 0.9 + 0.09 + 0.009 + … = 0.9/(1−0.1) = 1。

**收斂條件 |r| < 1 是關鍵**。r ≥ 1 時每項不會變小，總和發散到無限大，公式不能用。用無窮級數公式前一定要先檢查公比。

複利、折舊、細胞分裂、循環小數化分數、碎形長度。

先自己算，再看解答——這樣才有效。

極限問的是「愈來愈靠近時趨向什麼」，跟該點本身有沒有定義無關。