條件機率與獨立事件

P(A|B) 讀作「在 B 發生的條件下 A 的機率」。它的核心概念是：既然已知 B 發生，**樣本空間就縮小到只剩 B 這個範圍**，我們要問的是 A∩B 在 B 裡面佔多少。

所以 **P(A|B) = P(A∩B)/P(B)**，其中 P(B) > 0。

把它移項就得到**乘法公式** P(A∩B) = P(B)·P(A|B)，這在處理「連續抽取不放回」的問題時最常用。

**獨立事件**指的是「B 發生與否不影響 A 的機率」，也就是 P(A|B) = P(A)。此時乘法公式簡化成 **P(A∩B) = P(A)·P(B)**。

注意：獨立和互斥完全不同，而且常被搞混。**互斥**是兩者不可能同時發生（P(A∩B) = 0），**獨立**是互不影響。兩個機率都不為 0 的互斥事件，反而一定**不獨立**——因為一個發生了，另一個就絕不可能發生，影響非常大。

**貝氏定理** P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B) 讓我們能反轉條件方向，是醫學檢驗、垃圾郵件過濾的數學基礎。這裡有個著名的直覺陷阱：即使檢驗準確率很高，若疾病本身罕見，陽性結果為真的機率仍可能很低。