期望值與變異數

**期望值** E(X) = Σ xᵢpᵢ，是每個結果乘以它的機率再加總，代表**長期下來的平均值**。

注意期望值**不一定是可能出現的結果**。丟一顆公正骰子的期望值是 3.5，但骰子永遠不會出現 3.5 點。它是長期平均，不是預測單次結果。

期望值最實際的用途是判斷一個賭局或投資**划不划算**：算出淨期望值，正的長期有利、負的長期不利。所有商業賭局的期望值對玩家都是負的，這就是它們能獲利的原因。

**變異數** Var(X) = E[(X−μ)²]，衡量結果偏離平均的程度。實際計算常用等價公式 **Var(X) = E(X²) − [E(X)]²**（「平方的期望 減 期望的平方」），比按定義展開快得多。

**標準差** σ = √Var，單位與原資料相同，比變異數好解讀。

兩組資料期望值相同、變異數不同時，意義差很多：投資 A 和 B 的期望報酬都是 5%，但變異數大的那個風險高得多。只看平均不看變異，是解讀數據最常見的疏漏。