定積分與面積

定積分的原始定義是**黎曼和的極限**：把 [a,b] 切成很多細長方形，把面積加起來，再讓寬度趨近 0。它衡量的是**曲線與 x 軸之間的面積**。

直接算黎曼和極限非常麻煩。**微積分基本定理**提供了捷徑： **∫[a,b] f(x)dx = F(b) − F(a)**，其中 F 是 f 的任一個反導函數。

這是整個微積分最深刻的結果——它把「求面積」（積分）和「求斜率」（微分）這兩件表面上毫無關係的事連在一起。牛頓與萊布尼茲的貢獻核心就在這裡。

注意定積分算的是**有向面積**：曲線在 x 軸**下方**時積分值是**負**的。所以要求「實際覆蓋的面積」時，必須先找出函數變號的點，分段積分後**各段取絕對值再相加**，不能一口氣積完。這是最常見的陷阱。

定積分是一個**數**（不含 C，因為 C 在相減時抵消了），不定積分是一個**函數族**。這個區別要清楚。

**兩曲線之間的面積** = ∫(上方函數 − 下方函數)dx，記得先找交點決定積分範圍。