∫2x dx = ? + C（填 x 的式子，形如 x^2）

次方加一除以新次方：2x^(2)/2 = x² 檢查：(x²)' = 2x ✓ 答案：x^2

∫x³ dx 的係數分母是多少？（答案形如 x^4/4 請填 4）

∫x³dx = x⁴/4 + C 答案：4

1/x = x⁻¹，n = −1 時分母 n+1 會是 0。答案：-1

高三下∫ 微積分

1/x = x⁻¹，n = −1 時分母 n+1 會是 0。 答案：-1

Antiderivatives and Indefinite Integrals

公式

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C（n ≠ −1）

積分是微分的反運算。因為常數微分後變 0，答案一定要加上 +C。

先修

微分問「已知函數，求變化率」；積分反過來問「**已知變化率，求原函數**」。

如果 F'(x) = f(x)，就說 F 是 f 的**反導函數**，記作 ∫f(x)dx = F(x) + **C**。

那個 **+C 不能省**。因為任何常數微分後都是 0，所以 x²、x²+1、x²−7 的導數全都是 2x。反推回去時，我們只知道原函數「差一個常數」，必須用 C 概括所有可能。漏掉 C 是最常見的扣分點。

**冪次律的反向**：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C。次方加一、再除以新的次方。

注意 **n = −1 的例外**：∫(1/x)dx 不能套上面的公式（會除以 0），答案是 **ln|x| + C**。加絕對值是因為 x 可能是負的。

其他常用：∫cos x dx = sin x + C、∫sin x dx = **−**cos x + C（注意負號跑到積分這邊了）、∫eˣ dx = eˣ + C。

檢查積分結果的方法非常簡單直接：**把答案微分回去**，看是否等於被積分的函數。這一步幾秒鐘，能抓出絕大多數錯誤。

已知速度求位移、已知邊際成本求總成本、解微分方程式。

先自己算，再看解答——這樣才有效。

定積分是「曲線下的有向面積」，用反導函數在兩端點的差就能算出來。