積分的應用

積分的本質是「把無限多個微小的量累加起來」。認出這個結構，就能套到各種問題上。

**旋轉體體積（圓盤法）**：曲線 y = f(x) 繞 x 軸旋轉，每個薄片是半徑 f(x)、厚度 dx 的圓盤，體積是 π[f(x)]²dx。加起來就是 **V = π∫[a,b][f(x)]²dx**。注意括號裡要**平方**，這一點常漏。

**位移與路程**：速度對時間積分得**位移**（有向）。如果要**總路程**，必須對 |v(t)| 積分——速度為負代表往回走，那段路程仍要算進去。這跟定積分的正負問題是同一個道理。

**平均值**：函數在 [a,b] 上的平均值 = (1/(b−a))∫[a,b]f(x)dx。就是「總量除以區間長度」，跟算術平均的精神一致。

這些應用的共同解題步驟是固定的：**先寫出一個微小片段的量，再決定積分範圍，最後積分**。把這個思路建立起來，遇到沒看過的應用題也能自己推。