高三上∫ 微積分
微分法則
Differentiation Rules
公式
(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ ｜ (uv)' = u'v + uv' ｜ 鏈鎖律 (f(g))' = f'(g)·g'
有了這幾條規則就不必每次回到定義。乘積律和鏈鎖律是最常用也最常錯的。
白話解釋
常用的微分法則：
**冪次律** (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹——指數掉下來當係數，次方減一。這是最常用的一條。 **常數** (c)' = 0（水平線斜率為 0）。 **和差** 可以逐項微分。 **乘積律** (uv)' = u'v + uv'——**不是** u'v'，這是最常見的錯誤。 **商律** (u/v)' = (u'v − uv')/v²——分子是減法而且順序不能反。 **鏈鎖律** [f(g(x))]' = f'(g(x))·g'(x)——先微外層（內層當整體），再乘內層的導數。
常見函數：(sin x)' = cos x、(cos x)' = −sin x（注意負號）、(eˣ)' = eˣ、(ln x)' = 1/x。
鏈鎖律的「別忘了乘內層導數」是初學最容易漏的一步。微分 (2x+1)⁵ 時，答案是 5(2x+1)⁴ **× 2**，那個 2 常被忘記。
**應用**：f'(x) > 0 時函數遞增、< 0 時遞減，f'(x) = 0 的點是**臨界點**（可能是極大、極小或反曲）。這是求最大最小值的標準流程，也是微分最實用的用途。
什麼時候用
求切線斜率、判斷增減、求極值、最佳化問題。
最容易錯的地方
- 乘積律寫成 u'v'。
- 鏈鎖律忘記乘內層導數。
- (cos x)' 忘記負號。
例題 · 3 題
先自己算，再看解答——這樣才有效。
- 1
f(x) = x³，f'(x) = ？（形如 3x^2）
- 2
f(x) = x³ − 3x，f'(1) = ？
- 3
f(x) = (2x+1)⁵，f'(x) = 5(2x+1)⁴ × ？