極式與棣美弗定理

複數 z = a + bi 可以改用「距離 + 方向」描述：**z = r(cos θ + i·sin θ)**，其中 r = |z| 是長度、θ 是輻角。這叫**極式**。

極式讓乘除變得極為簡單： **乘法**：長度相乘、角度相加。 **除法**：長度相除、角度相減。

把乘法重複 n 次，就得到**棣美弗定理**： **zⁿ = rⁿ(cos nθ + i·sin nθ)**

直接展開 (1+i)¹⁰ 要用二項式定理算 11 項，很痛苦。但用極式：1+i 的長度是 √2、角度 45°，所以 (1+i)¹⁰ = (√2)¹⁰(cos450° + i·sin450°) = 32(cos90° + i·sin90°) = 32i。三行解決。

**n 次方根**也隨之而來：z 的 n 次方根有 **n 個**，它們的長度都是 ⁿ√r，角度是 (θ + 360°k)/n，k = 0…n−1。這些根在複數平面上均勻分布在一個圓上，形成**正 n 邊形**的頂點——例如 1 的三次方根是三個相隔 120° 的點。

最常見的錯誤是只找到一個根就停手。n 次方根一定有 n 個。