高三上∫ 微積分
極限與連續
Limits and Continuity
公式
lim(x→a) f(x) = L；連續 ⟺ 極限值 = 函數值
極限問的是「愈來愈靠近時趨向什麼」，跟該點本身有沒有定義無關。
白話解釋
lim(x→a) f(x) = L 的意思是：**當 x 愈來愈接近 a（但不等於 a）時，f(x) 愈來愈接近 L**。
「但不等於 a」這五個字是關鍵。極限只在乎**趨近過程**，完全不管 x = a 那一點本身發生什麼事——函數在那裡可以沒定義、也可以定義成別的值，都不影響極限。
這正是為什麼 lim(x→2) (x²−4)/(x−2) 存在。x = 2 時分母為 0、函數沒定義，但 x ≠ 2 時可以約分成 x + 2，所以極限是 4。
**0/0 型**是最常見的情況，處理方法就是想辦法**消掉造成 0 的因式**：因式分解、有理化、通分。
**連續**的定義是三個條件同時成立：f(a) 有定義、極限存在、而且**極限值 = 函數值**。直覺上就是「筆不用離開紙就能畫完」。
**左極限與右極限**必須相等，整體極限才存在。分段函數在接點處、以及有跳躍或震盪的地方，就是靠這個判斷。
什麼時候用
微積分的基礎、分析函數行為、判斷漸近線。
最容易錯的地方
- 把極限值當成函數值（該點可能沒定義）。
- 遇到 0/0 就直接寫「不存在」。
- 忘記檢查左右極限是否相等。
例題 · 3 題
先自己算，再看解答——這樣才有效。
- 1
lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2) = ？
- 2
lim(x→3) (2x + 1) = ？
- 3
lim(x→1) (x² − 1)/(x − 1) = ？