複數與複數平面

x² = −1 在實數範圍無解。定義虛數單位 **i** 使得 **i² = −1**，數系就擴充成**複數** z = a + bi，其中 a 是實部、b 是虛部。

這個擴充帶來一個極漂亮的結果——**代數基本定理**：任何 n 次多項式方程式在複數範圍內恰有 n 個根（重根算多次）。數系到複數就「完備」了，不必再擴充。

**共軛複數** z̄ = a − bi。它有兩個關鍵性質： z·z̄ = a² + b²（結果是**實數**，這是複數除法要「分母有理化」的原理）； 實係數方程式的虛根**必成共軛對出現**——所以知道 2+3i 是根，就知道 2−3i 也是。

**複數平面**（高斯平面）把 z = a + bi 對應到點 (a, b)。於是： **絕對值** |z| = √(a² + b²) 就是到原點的距離； 複數加法就是向量加法； **乘法**有清楚的幾何意義——**長度相乘、角度相加**。

特別地，乘以 i 就是**逆時針旋轉 90°**。這讓複數成為描述旋轉與週期現象的自然工具，在電機工程（交流電相位）中被大量使用。