高三上∫ 微積分
函數的極值與圖形
Extrema and Curve Sketching
公式
f'(x) = 0 找臨界點；f''(x) 判斷凹向
一階導數找出可能的極值點，二階導數判斷是極大還是極小。
白話解釋
求函數極值的標準流程：
**第一步**：解 f'(x) = 0，找出**臨界點**。（也要注意 f' 不存在的點。）
**第二步**：判斷每個臨界點是極大還是極小。有兩種方法： **一階判別法**：看 f' 在該點左右的正負變化。由正轉負是極**大**，由負轉正是極**小**。 **二階判別法**：f''(a) < 0 是極**大**（開口向下），f''(a) > 0 是極**小**。f''(a) = 0 時此法失效，要回到一階判別。
**第三步**（求最大最小值時）：閉區間上的最大最小值，除了臨界點，**還要比較兩個端點**的函數值。這一步最常被忘記——極值是局部的，最值是整體的，兩者不一樣。
**二階導數**還告訴我們**凹向**：f'' > 0 向上凹（碗形）、f'' < 0 向下凹（拱形）。凹向改變的地方叫**反曲點**。
把定義域、截距、增減、凹向、漸近線全部整理出來，就能相當精確地畫出函數圖形——這是微積分最直觀的成果之一。
什麼時候用
最佳化（成本最低、利潤最大、面積最大）、畫函數圖形、分析趨勢。
最容易錯的地方
- 只找臨界點，忘記比較閉區間的端點。
- f''(a) = 0 就斷定不是極值（其實要改用一階判別）。
- 把極值（局部）當成最值（整體）。
例題 · 3 題
先自己算，再看解答——這樣才有效。
- 1
f(x) = x² − 4x + 3，極小值發生在 x = ？
- 2
承上題，極小值是多少？
- 3
f''(a) < 0 時，臨界點 a 是極大還是極小？