導數的定義

平均變化率是兩點連線（割線）的斜率 [f(x+h) − f(x)]/h。讓 h 趨近 0，兩點合而為一，割線變成**切線**——這個極限就是**導數** f'(x)。

所以導數有三個等價的解讀，全部要熟： **幾何**：曲線在該點的切線斜率。 **物理**：瞬時變化率（位置對時間微分是速度，速度再微分是加速度）。 **代數**：那個極限式。

**可微必連續，但連續不一定可微**。y = |x| 在 x = 0 連續，但左右的斜率一個是 −1、一個是 +1，不相等，所以不可微——尖點處沒有唯一的切線。

用定義算導數叫「**求導數的第一原理**」。以 f(x) = x² 為例： [(x+h)² − x²]/h = (2xh + h²)/h = 2x + h， 讓 h → 0 得 f'(x) = 2x。

實務上不會每次都用定義，而是用推導好的公式。但理解定義很重要——它解釋了為什麼那些公式長那樣，也是遇到非典型函數時唯一的退路。