高二上📐 空間與形狀
平面向量與內積
Vectors and Dot Product
公式
a·b = |a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂
向量有大小也有方向。內積把兩個向量變成一個數，可以拿來求夾角與判斷垂直。
白話解釋
**向量**同時帶有大小和方向，可以用座標 (a₁, a₂) 表示。它和「點」的差別在於：向量只管位移，起點在哪不重要。
向量的加法遵循平行四邊形法則，係數乘法則是伸縮（負數會反向）。
**內積**（點積）把兩個向量映成一個純量，有兩個等價定義： **幾何形式** a·b = |a||b|cos θ **座標形式** a·b = a₁b₁ + a₂b₂
把兩者對照，就能求夾角：**cos θ = (a·b)/(|a||b|)**。
最重要的推論：**兩向量垂直 ⟺ 內積為 0**（因為 cos 90° = 0）。這是判斷垂直最快的方法，比算斜率更通用（不必擔心鉛直線沒有斜率）。
內積的正負也有意義：正表示夾角是銳角、負表示鈍角、零表示垂直。
**投影**是另一個常用概念：a 在 b 方向上的投影長是 (a·b)/|b|，在物理裡對應「有效分力」——這正是功 W = F·d 用內積定義的原因，只有沿著位移方向的力才做功。
什麼時候用
求夾角、判斷垂直、計算功與投影、幾何證明。
最容易錯的地方
- 把內積的結果當成向量（它是一個數）。
- 求夾角時忘記除以兩向量的長度。
- 把內積和外積混用。
例題 · 3 題
先自己算，再看解答——這樣才有效。
- 1
a = (3, 4)、b = (1, 2)，a·b = ？
- 2
a = (3, 4) 的長度 |a| 是多少？
- 3
a = (2, 3)、b = (3, −2)，兩向量是否垂直？（填是或否）