f(x) = x³ − 7x + 6，x = 1 是不是根？（填是或否）

f(1) = 1 − 7 + 6 = 0，是根。答案：是

x³ − 7x + 6 = (x−1)(x+3)(x−?)，? 是多少？

除以 (x−1) 得 x² + x − 6 = (x+3)(x−2)。所以是 2。答案：2

常數項 −6 的因數：±1, ±2, ±3, ±6。最小的正整數候選是 1。（驗證 f(1) = 1+2−5−6 = −8，不是根，但候選仍是 1。）答案：1

高一上🧮 代數

f(1) = 1 − 7 + 6 = 0，是根。 答案：是

除以 (x−1) 得 x² + x − 6 = (x+3)(x−2)。 所以是 2。 答案：2

常數項 −6 的因數：±1, ±2, ±3, ±6。 最小的正整數候選是 1。 （驗證 f(1) = 1+2−5−6 = −8，不是根，但候選仍是 1。） 答案：1

Factor Theorem and Rational Roots

公式

f(a) = 0 ⟺ (x − a) 是 f(x) 的因式

代進去等於 0，就代表那是一個因式。要猜根，先從常數項的因數猜起。

先修

餘式定理的特例：如果 f(a) = 0，餘式就是 0，代表 (x − a) **整除** f(x)，也就是它是一個因式。反過來也成立。

這給了我們分解高次多項式的方法：**先猜一個根，再用綜合除法降次**。

猜根不是亂猜。**有理根定理**說：如果 f(x) = aₙxⁿ + … + a₀ 有有理根 p/q（最簡分數），那麼 p 必為**常數項 a₀ 的因數**、q 必為**首項係數 aₙ 的因數**。

所以分解 x³ − 7x + 6 時，首項係數是 1，可能的有理根就是常數項 6 的因數：±1, ±2, ±3, ±6。試 x = 1：1 − 7 + 6 = 0 ✓，找到了。

用綜合除法除以 (x − 1) 得 x² + x − 6，再分解成 (x+3)(x−2)。所以 x³ − 7x + 6 = (x−1)(x+3)(x−2)。

實務上先試 ±1 通常最快，因為它們最容易算。

分解三次以上的多項式、解高次方程式。

先自己算，再看解答——這樣才有效。

定義 i² = −1 之後，所有多項式方程式都有解。複數可以畫在平面上。