二項式定理

(a+b)² = a² + 2ab + b²、(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³。係數 1,2,1 和 1,3,3,1 就是巴斯卡三角形的兩列。

為什麼是組合數？展開 (a+b)ⁿ 時，每一項都是從 n 個括號中各挑一個字母相乘。要得到 aⁿ⁻ᵏbᵏ，就是從 n 個括號中選 k 個貢獻 b，方法數就是 C(n,k)。

所以**通項**是 **C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ**，這裡 k 從 0 數到 n。注意這是**第 k+1 項**——k 從 0 開始，這個 off-by-one 是最常見的錯誤。要求「第 5 項」時 k = 4。

幾個好用的推論： 所有係數和 = 2ⁿ（令 a = b = 1）； 奇數項係數和等於偶數項係數和（令 a = 1, b = −1）； 展開式共有 n+1 項。

常見題型是「求某一項的係數」。做法是先設通項，找出讓次方符合要求的 k，再代回去算。例如求 (x + 2)⁵ 中 x³ 的係數：需要 5−k = 3，即 k = 2，係數是 C(5,2)·2² = 10 × 4 = 40。