數學歸納法

要證明一個敘述對**所有**正整數 n 都成立，逐一驗證是做不完的。數學歸納法提供了一個有限步驟的做法。

它有兩個步驟，缺一不可：

**第一步（基底）**：證明 n = 1 時成立。這是推倒第一張骨牌。

**第二步（歸納）**：假設 n = k 時成立（這叫**歸納假設**），據此證明 n = k+1 時也成立。這是證明「每張骨牌倒了都會撞倒下一張」。

兩步都完成後，就能斷定對所有正整數都成立。

最常見的錯誤是**第二步沒有真的用到歸納假設**。如果你的證明從頭到尾沒有引用「n = k 時成立」這個前提，那你其實只是重新證了一次原命題，歸納法沒有生效。寫的時候要明確標出「由歸納假設」。

另一個錯誤是**跳過第一步**。少了基底，就算骨牌會互相撞，也沒有人去推第一張。曾有經典的錯誤證明（例如「所有馬都同色」）就是敗在基底或歸納步驟的邊界情況。

典型應用：證明求和公式、整除性質、不等式。