x > 0 時，x + 1/x 的最小值是多少？

積 x·(1/x) = 1 固定。 x + 1/x ≥ 2√1 = 2 等號在 x = 1/x 即 x = 1 時成立。答案：2

a + b = 10（a、b 為正），ab 的最大值是多少？

√(ab) ≤ (a+b)/2 = 5 ab ≤ 25，等號在 a = b = 5 時。答案：25

積 x·(4/x) = 4 固定。 x + 4/x ≥ 2√4 = 4 等號在 x = 2 時。答案：4

高一上🧮 代數

√(ab) ≤ (a+b)/2 = 5 ab ≤ 25，等號在 a = b = 5 時。 答案：25

積 x·(4/x) = 4 固定。 x + 4/x ≥ 2√4 = 4 等號在 x = 2 時。 答案：4

AM–GM Inequality

公式

(a + b)/2 ≥ √(ab)，等號成立於 a = b

兩個正數的算術平均永遠不小於幾何平均，相等時才取等號。

先修

對任意正數 a、b，恆有 **(a + b)/2 ≥ √(ab)**，而且**等號只在 a = b 時成立**。

證明只要一行：(a+b)/2 − √(ab) = (√a − √b)²/2 ≥ 0。平方永遠非負，等號在 √a = √b 也就是 a = b 時成立。

這個不等式最大的價值是**求最值**，而且是在沒有微分工具的高一階段就能用： **和固定時，兩數相等則積最大**； **積固定時，兩數相等則和最小**。

所以周長固定的長方形中，正方形面積最大；而 x + 1/x（x > 0）的最小值是 2，發生在 x = 1（因為積 x · (1/x) = 1 固定）。

使用時有三個必要條件，缺一不可：**兩數都要是正的**、**要湊出定值**（和或積其中一個是固定的）、**等號要取得到**。第三點最常被忽略——如果使等號成立的 x 不在題目的定義域內，那個「最小值」就取不到。

三個數的版本 (a+b+c)/3 ≥ ∛(abc) 也成立，等號同樣在三數相等時。

求最大最小值（尤其是分式或含倒數的式子）、證明不等式。

先自己算，再看解答——這樣才有效。

把「最省材料」「利潤最大」翻成一個函數，再用微分找極值。