微分的最佳化應用

最佳化問題的價值在於它把微分接回真實世界：怎麼裁才最省材料、定價多少利潤最大、走哪條路最快。

解題流程是固定的五步： **一、設變數**並畫圖。 **二、寫出要最佳化的目標函數**（面積、成本、體積……）。 **三、用題目的限制條件把它化成單一變數**——這一步是關鍵，也最花工夫。 **四、確定變數的合理範圍**（長度不能為負、不能超過材料總量）。 **五、微分求臨界點**，並與範圍端點比較。

舉例：用 100 公尺籬笆圍一個長方形，面積最大是多少？ 設長 x、寬 y，限制式 2x + 2y = 100 → y = 50 − x。 目標 A = x(50 − x) = 50x − x²，範圍 0 < x < 50。 A′ = 50 − 2x = 0 → x = 25，此時 y = 25，面積 625。

（順帶一提，答案是正方形——這跟高一算幾不等式的結論一致，兩種工具殊途同歸。）

最常見的失分不是微分算錯，而是**忘了檢查端點**，或是**答非所問**——題目問「最大面積」卻只寫出 x = 25。算完務必回頭看題目要的是哪一個量。