數列的極限與收斂

數列 aₙ 在 n 趨向無窮時逼近某個定值 L，就說它**收斂**於 L，記作 lim aₙ = L；否則叫**發散**。

幾個必須熟的基本極限： **lim 1/n = 0**（n 愈大分母愈大，值愈小） **lim rⁿ = 0（|r| < 1）**、r = 1 時極限是 1、|r| > 1 時發散 **lim (1 + 1/n)ⁿ = e ≈ 2.718**（自然常數的定義）

**有理式的極限**看分子分母的最高次：分子次數低 → 極限 0；次數相同 → 最高次係數之比；分子次數高 → 發散。 所以 lim (3n²+1)/(2n²+n) = 3/2。實務做法是分子分母同除以最高次項。

**夾擠定理**很好用：如果 aₙ ≤ bₙ ≤ cₙ 且 aₙ、cₙ 都收斂到同一個 L，那 bₙ 也必定收斂到 L。這在處理含 sin、cos 的數列時特別有效——因為 −1 ≤ sin n ≤ 1，所以 lim (sin n)/n 被夾在 −1/n 與 1/n 之間，必為 0。

注意「愈來愈大」與「發散」的關係：aₙ = n 發散到無窮，aₙ = (−1)ⁿ 則是**震盪發散**（不趨近任何值），兩者都不收斂但情況不同。