f(x) = x³ − 2x − 5，f(2) = −1、f(3) = 16，根落在 2 與多少之間？

異號且連續，由 IVT 在 (2, 3) 內有根。答案：3

f(x) = 1/x 在 x = 0 是否連續？（填是或否）

x = 0 時沒有定義，不連續。答案：否

1 − 2 = −1（與 f(2) = 2 異號，所以 √2 在其中）答案：-1

高三上∫ 微積分

異號且連續，由 IVT 在 (2, 3) 內有根。 答案：3

x = 0 時沒有定義，不連續。 答案：否

1 − 2 = −1（與 f(2) = 2 異號，所以 √2 在其中） 答案：-1

Continuity and the Intermediate Value Theorem

公式

f 在 [a,b] 連續且 f(a)·f(b) < 0 ⟹ (a,b) 內有根

連續函數不會憑空跳過某個值。這給了「一定有根」的嚴格保證。

先修

函數在 x = a **連續**的定義有三個條件：f(a) 有定義、極限存在、而且**極限值等於函數值**。三者缺一就是不連續。

不連續有幾種樣貌：**可去不連續**（挖了一個洞，補上去就好）、**跳躍不連續**（左右極限不相等）、**無窮不連續**（有鉛直漸近線）。

**中間值定理（IVT）**是連續性最重要的推論：若 f 在閉區間 [a, b] 連續，則 f 會取到 f(a) 與 f(b) 之間的**每一個值**。

直觀來說：連續的曲線從高度 f(a) 走到 f(b)，中間不能瞬移，所以必然經過中間的每個高度。

它最常見的用法是**保證方程式有根**：若 f(a) 與 f(b) **異號**，那麼 0 介於兩者之間，所以必有一點 c 使 f(c) = 0。這就是高一勘根定理的嚴格版本。

用之前務必檢查**連續**這個前提。f(x) = 1/x 在 x = −1 是 −1、在 x = 1 是 1，異號，但它在 (−1, 1) 內**沒有根**——因為它在 x = 0 不連續，定理不適用。這是最典型的誤用。

IVT 只保證**存在**，不告訴你根在哪、也不保證只有一個。二分法就是靠它反覆縮小區間來逼近根。

證明方程式有解、數值方法（二分法）、存在性論證。

先自己算，再看解答——這樣才有效。