方程式的複數根與根與係數

**根與係數關係**（韋達定理）讓我們不必解方程式就知道根的和與積。

二次式 ax² + bx + c = 0：**兩根和 = −b/a、兩根積 = c/a**。 三次式 ax³ + bx² + cx + d = 0：三根和 = −b/a、兩兩乘積之和 = c/a、三根之積 = −d/a。 規律是**正負號交替**，分母都是首項係數。

這在求「兩根平方和」這類問題時特別好用：α² + β² = (α+β)² − 2αβ，直接用係數代進去，完全不必解方程式。

**實係數方程式的虛根必成共軛對**。如果 2 + 3i 是根，那 2 − 3i 一定也是根。原因是取共軛不會改變實係數方程式的形式。

這推論出一個常考的事實：**實係數奇次方程式至少有一個實根**。因為虛根成對出現，奇數個根不可能全部配對，一定剩下至少一個實根。所以任何三次方程式都必定有實根。

由**代數基本定理**，n 次方程式在複數範圍恰有 n 個根（重根計次），這讓「根的個數」這件事終於有了乾淨的答案。