多項式函數的圖形與勘根定理

多項式函數的圖形有幾個穩定的特徵，先掌握它們就能大致畫出形狀。

**最高次項決定兩端的走向**。奇次項（如 x³）兩端方向相反，一邊往上一邊往下；偶次項（如 x⁴）兩端同向。首項係數為正時右端往上，為負時右端往下。

**n 次多項式最多有 n 個實根**，圖形最多與 x 軸交 n 次，而且最多有 n−1 個轉折。

**勘根定理**是找根最實用的工具：多項式函數是連續的，如果 f(a) 和 f(b) **異號**，那麼在 a 與 b 之間至少存在一個實根。因為連續的曲線要從 x 軸上方走到下方，必然會穿過 x 軸。

注意這是**單向**的：異號一定有根，但同號**不代表沒有根**——可能有兩個根（穿下去又穿回來），也可能有重根。這是最常見的誤用。

實務上先用有理根定理列出候選，再用勘根定理縮小範圍，最後用綜合除法驗證。