標準差與資料的離散程度

只看平均數會漏掉很重要的訊息。{50, 50, 50} 和 {0, 50, 100} 的平均都是 50，但分散程度完全不同。

量離散度的標準做法是看每筆資料離平均的距離。但直接把 (xᵢ − μ) 加起來一定是 0（正負互相抵消），所以要先**平方**再平均——這叫**變異數 σ²**。

變異數的單位是原單位的平方（公分的變異數單位是平方公分），不好解讀。所以再開根號回來，得到**標準差 σ**，單位跟原資料相同。

實際計算常用等價公式 **σ² = (Σxᵢ²)/n − μ²**（平方的平均 減 平均的平方），比按定義逐項算快得多。

兩個重要性質： **全體加一個常數**，標準差**不變**（整組平移，分散度沒變）； **全體乘一個常數 k**，標準差變成 **|k| 倍**。 這兩點在換單位（公分換公尺、攝氏換華氏）時特別有用。

標準差是後面常態分布與 68–95–99.7 法則的基礎——沒有它，「離平均幾個標準差」這句話就無從說起。