國一上🔢 數與量
最大公因數與最小公倍數的應用
Applications of GCD and LCM
公式
分裝、裁切 → GCD ｜ 週期、同時發生 → LCM
判斷要用哪一個：東西「分得更小」用 GCD，時間「等更久」用 LCM。
白話解釋
GCD 與 LCM 的應用題型固定，關鍵是**判斷該用哪一個**。
**用 GCD（最大公因數）的情境**：把東西**分裝、裁切成一樣大**，而且要「最大」「最多份」。 特徵是答案會**比原本的數小**。 例：48 顆糖和 36 塊餅乾平分成幾袋剛好分完且袋數最多 → GCD(48,36) = 12 袋。 例：長 60、寬 45 的長方形紙裁成最大的正方形 → 邊長 GCD(60,45) = 15。
**用 LCM（最小公倍數）的情境**：兩件事**各有週期，問何時再次同時發生**，或是要拼成「最小的共同大小」。 特徵是答案會**比原本的數大**。 例：甲每 6 天、乙每 8 天來一次，幾天後再一起來 → LCM(6,8) = 24 天。 例：用長 12、寬 8 的磚鋪成最小的正方形 → 邊長 LCM(12,8) = 24。
**最實用的判斷法**：先猜答案應該比題目的數字大還是小。要變小就是 GCD，要變大就是 LCM。這個直覺幾乎不會錯。
還有一個好用的檢查式：**GCD × LCM = 兩數相乘**。算完可以拿它驗算。
什麼時候用
分裝、裁切、鋪磚、排班、燈號同時亮、公車同時發車。
最容易錯的地方
- GCD 與 LCM 用反（最常見的失分原因）。
- 算出 GCD 就當答案，忘記題目問的是「每袋幾個」還是「分幾袋」。
- 三個數的情況只算了其中兩個。
例題 · 3 題
先自己算，再看解答——這樣才有效。
- 1
48 顆糖和 36 塊餅乾平分，最多可分成幾袋？
- 2
甲每 6 天、乙每 8 天來一次，今天同時來，幾天後再同時來？
- 3
長 12、寬 8 的磚，鋪成最小正方形的邊長是多少？