二項分布與常態近似

n 次獨立試驗、每次成功機率 p，成功次數 X 服從**二項分布** B(n, p)。

它的兩個關鍵量： **期望值 E(X) = np** **變異數 Var(X) = np(1−p)**，標準差就是開根號。

丟 100 次公正硬幣，期望正面數 = 100 × 0.5 = 50，標準差 = √(100×0.5×0.5) = 5。

最有價值的性質是**常態近似**：當 n 夠大時（實務判準是 np ≥ 5 且 n(1−p) ≥ 5），二項分布的形狀會非常接近**常態分布** N(np, np(1−p))。

這讓我們可以直接套 68–95–99.7 法則。以上面的硬幣為例：約 95% 的情況下，正面數會落在 50 ± 2×5 = **40 到 60** 之間。所以丟 100 次出現 70 次正面是相當異常的——那是離平均 4 個標準差。

這正是**中央極限定理**的一個特例，也是統計推論能夠成立的基礎：不管原始分布長什麼樣，大量獨立事件累加後都會趨近常態。

注意 p 太接近 0 或 1 時分布會偏斜，常態近似就不準了，這時要改用其他方法。