分部積分法

分部積分是**乘積律的反向操作**：由 (uv)′ = u′v + uv′ 移項積分，得到 **∫u dv = uv − ∫v du**。

它的用途是把一個難積的式子，換成另一個好積的式子。所以成敗完全取決於 **u 選得對不對**。

選 u 的口訣是 **LIATE**，按這個優先序挑 u： **L**og（對數）→ **I**nverse trig（反三角）→ **A**lgebraic（多項式）→ **T**rig（三角）→ **E**xponential（指數）。 排在前面的優先當 u，剩下的當 dv。

原理是：對數和多項式**微分後會變簡單**（適合當 u），而三角和指數**積分後不會變複雜**（適合當 dv）。

以 ∫x·eˣ dx 為例：A 排在 E 前面，所以 u = x、dv = eˣdx。則 du = dx、v = eˣ。 代入公式：x·eˣ − ∫eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C = eˣ(x − 1) + C。

如果選反了（u = eˣ、dv = x dx），會得到 ∫(x²/2)eˣ dx，多項式次數不減反增，愈積愈難——這就是選錯 u 的徵兆，看到這種情況就換過來。

有些題目要用**兩次**分部積分（例如 ∫x²sin x dx）；還有一類會「繞回原式」（例如 ∫eˣsin x dx），這時把原積分當未知數移項解出來即可。