獨立試驗與二項機率

**重複試驗**（白努利試驗）要滿足三個條件：每次只有成功／失敗兩種結果、成功機率固定、各次互相獨立。

在這種情況下，n 次試驗中**恰好** k 次成功的機率是： **C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ**

三個部分各有意義：pᵏ 是那 k 次都成功的機率、(1−p)ⁿ⁻ᵏ 是其餘都失敗的機率、**C(n,k)** 則是「哪幾次成功」有幾種安排方式。忘記乘 C(n,k) 是最常見的錯誤——那等於只算了「前 k 次成功」這一種順序。

例如丟 5 次硬幣恰好 3 次正面：C(5,3)·(1/2)³·(1/2)² = 10 × 1/32 = 10/32 = 5/16。

題目問「**至少** k 次」時，要把 k、k+1、…、n 全部加起來。如果 k 很小，用**餘事件**會快得多：P(至少 1 次) = 1 − P(一次都沒有)。

這個分布叫**二項分布**，它的期望值是 **np**、變異數是 **np(1−p)**。丟 100 次硬幣，期望正面數是 50 次，這跟直覺一致。