V = (4/3)πr³，dV/dr = ？（形如 4πr^2）

(4/3)π × 3r² = 4πr² 答案：4πr^2

正方形邊長以 2 cm/s 增加，邊長 5 cm 時面積變化率是多少 cm²/s？

A = s²，dA/dt = 2s·(ds/dt) = 2(5)(2) = 20 答案：20

C = 2πr，dC/dt = 2π(dr/dt) = 2π(3) = 6π 係數是 6。答案：6

高三上∫ 微積分

C = 2πr，dC/dt = 2π(dr/dt) = 2π(3) = 6π 係數是 6。 答案：6

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公式

找出關係式 → 兩邊對時間 t 微分 → 代入瞬間值

兩個量有關係，變化速度也有關係。關鍵是「先微分完再代數字」。

先修

氣球充氣時半徑在變，體積也跟著變。已知半徑的變化率，能不能求體積的變化率？這類問題叫**相關變化率**。

解題有固定四步： **一、寫出兩量的關係式**（幾何公式、畢氏定理、相似形等）。 **二、兩邊同時對時間 t 微分**，用連鎖律。 **三、把瞬間的數值代進去**。 **四、檢查單位與正負號**（變小的量變化率是負的）。

以球形氣球為例：V = (4/3)πr³。兩邊對 t 微分得 **dV/dt = 4πr²·(dr/dt)**。所以只要知道當下的 r 和 dr/dt，就能算出 dV/dt。

這裡有一個絕對不能違反的原則：**先微分，再代入數值**。如果一開始就把 r = 5 代進 V = (4/3)πr³，會得到一個常數 500π/3，微分後是 0——結論變成「體積不變」，完全錯誤。

變數必須保持是變數，直到微分完成為止。只有那些**永遠不變**的量（例如固定的梯子長度、漏斗的半徑高度比）才能在微分前代入。

這是相關變化率唯一但最致命的陷阱。

梯子滑落、水位上升、影子長度、氣球膨脹、雷達測速。

先自己算，再看解答——這樣才有效。