橢圓與雙曲線的性質

**離心率 e = c/a** 是圓錐曲線的統一指標： **e = 0** 是圓（兩焦點重合）、**0 < e < 1** 是橢圓、**e = 1** 是拋物線、**e > 1** 是雙曲線。

橢圓的 e 愈接近 0 愈圓、愈接近 1 愈扁。地球公轉軌道的 e 約 0.017，非常接近正圓；哈雷彗星則約 0.967，是個非常扁的橢圓。

**橢圓**（x²/a² + y²/b² = 1，a > b）： c² = a² − b²，焦點在長軸上； 到兩焦點距離之和恆為 **2a**； **光學性質**：從一個焦點射出的光，反射後必定通過另一個焦點。這就是「回音壁」的原理——在橢圓形大廳的一個焦點小聲說話，站在另一個焦點的人聽得一清二楚。

**雙曲線**（x²/a² − y²/b² = 1）： c² = a² + b²（**加號**，跟橢圓相反）； 到兩焦點距離之**差**的絕對值恆為 2a； 有兩條**漸近線** y = ±(b/a)x，曲線會愈來愈貼近它們但永不相交。

橢圓 c² 相減、雙曲線 c² 相加，是最常記混的一組。記法：橢圓的焦點在圖形**內**（c < a，所以相減），雙曲線的焦點在圖形**外**（c > a，所以相加）。