矩陣與線性變換

除了裝係數，矩陣還有一個更有力的觀點：它是一個**把向量映到另一個向量的函數**，而且是保持直線與原點的線性映射。

幾個基本變換矩陣： **旋轉** θ 角：[[cosθ, −sinθ], [sinθ, cosθ]] **沿 x 軸鏡射**：[[1, 0], [0, −1]] **伸縮**：[[k, 0], [0, k]]（各方向放大 k 倍）

這裡有個漂亮的連結：變換矩陣的**行列式絕對值 = 面積的放大倍率**。旋轉矩陣的行列式是 cos²θ + sin²θ = 1，正好對應「旋轉不改變面積」。伸縮 k 倍的矩陣行列式是 k²，對應面積放大 k² 倍——這跟國中相似形的「面積比是長度比平方」是同一件事。

行列式為**負**代表變換翻轉了方向（例如鏡射），為 **0** 代表把整個平面壓扁成一條線（資訊喪失，所以不可逆）。

**連續變換就是矩陣相乘**，而且順序很重要——先旋轉再鏡射，跟先鏡射再旋轉，結果通常不同。這正是矩陣乘法不可交換的幾何意義。

這套想法是電腦圖學與 3D 遊戲的數學核心。