國二上🧮 代數
十字交乘法
Cross Multiplication Method
公式
x² + bx + c = (x+p)(x+q)，p+q = b、pq = c
找兩個數相乘等於常數項、相加等於一次項係數。先看符號可以少試很多組。
白話解釋
**首項係數是 1** 時最單純：x² + bx + c = (x+p)(x+q)，只要找兩數滿足 **p + q = b、p × q = c**。
先用符號縮小範圍，可以省下大半的嘗試： **c 為正** → 兩數**同號**，再看 b 的正負決定都正還是都負； **c 為負** → 兩數**異號**，絕對值大的那個跟 b 同號。
所以 x² + 5x + 6：c = 6 正、b = 5 正 → 兩數都正。6 的正因數組合只有 1×6 和 2×3，其中 2+3 = 5 ✓，得 (x+2)(x+3)。
**首項係數不是 1** 時（ax² + bx + c）才真正用到「十字」：左邊兩格相乘得 a、右邊兩格相乘得 c，**交叉相乘後相加要等於 b**。 以 2x² + 7x + 3 為例：左邊拆 2 = 1×2、右邊拆 3 = 1×3，交叉相乘 1×3 + 2×1 = 5 不對；改成右邊 3×1：1×1 + 2×3 = 7 ✓，得 (x+3)(2x+1)。
這種情況要多試幾組，關鍵是**有系統地列出所有拆法**再逐一檢查交叉和，而不是亂猜。
**驗算方式永遠是乘回去**。這一步十秒鐘，能抓出絕大多數的符號錯誤。
什麼時候用
分解二次三項式、解一元二次方程式、約分代數分式。
最容易錯的地方
- 符號配錯，尤其 c 為負時。
- 首項係數不是 1 卻用了 a = 1 的簡化做法。
- 沒先提公因式就直接十字交乘。
例題 · 3 題
先自己算，再看解答——這樣才有效。
- 1
x² + 7x + 12 = (x+3)(x+?)，? 是多少？
- 2
x² − x − 6 = (x−3)(x+?)，? 是多少？
- 3
2x² + 7x + 3 = (x+3)(2x+?)，? 是多少？