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常用對數：首數與尾數
Common Logarithms: Characteristic and Mantissa
公式
log N = 首數（整數）+ 尾數（0 ≤ 尾數 < 1）
首數告訴你這個數有幾位，尾數決定它的數字排列。
白話解釋
以 10 為底的對數叫**常用對數**，通常直接寫 log N。
把 log N 拆成整數部分與小數部分：整數部分叫**首數**、小數部分叫**尾數**（規定 0 ≤ 尾數 < 1）。
這個拆法之所以有用，是因為兩部分各自帶有明確資訊： **首數決定位數**。若 N 是 n 位的正整數，則 log N 的首數是 **n − 1**。所以 log 3456 的首數是 3（四位數）。反過來，看到首數是 7 就知道那是 8 位數。 **尾數決定數字排列**。3456 和 34560 的尾數完全相同，因為它們只差 10 的次方——這正是 log(10N) = log N + 1 的意思。
最經典的應用是**判斷大數的位數**。2¹⁰⁰ 有幾位？log(2¹⁰⁰) = 100 × log2 ≈ 100 × 0.3010 = 30.10，首數 30，所以是 31 位數。這種題目不必真的算出 2¹⁰⁰。
小於 1 的數要小心：log 0.03 ≈ −1.523，但尾數必須是正的，所以要寫成 −2 + 0.477，首數是 **−2** 不是 −1。這是最容易錯的地方。
什麼時候用
判斷大數位數、估計數量級、pH 值與分貝計算。
最容易錯的地方
- 位數與首數差 1 的關係記反。
- 小於 1 的數把首數寫成 −1 而不是 −2。
- 尾數寫成負的（尾數必須落在 0 到 1 之間）。
例題 · 3 題
先自己算，再看解答——這樣才有效。
- 1
log 3456 的首數是多少？
- 2
已知 log2 ≈ 0.3010，2¹⁰⁰ 是幾位數？
- 3
log 0.03 的首數是多少？