高二上📐 空間與形狀
圓與直線的關係與切線
Circle–Line Relations and Tangent Lines
公式
d = r 相切 ｜ 切線斜率 = 半徑斜率的負倒數
用圓心到直線的距離跟半徑比，比聯立解方程式快得多也安全得多。
白話解釋
判斷直線與圓的關係有兩條路。
**聯立解方程式**看判別式：D > 0 相割、D = 0 相切、D < 0 相離。可行但計算量大。
**比較距離**快得多：算圓心到直線的距離 d，跟半徑 r 比。 **d > r 相離、d = r 相切、d < r 相割**。 只要一個距離公式就解決，而且不會遇到解方程式時的計算錯誤。實務上優先用這個。
**切線**的求法看題目給什麼： **過圓上一點**：切線垂直於該點的半徑，所以切線斜率 = 半徑斜率的**負倒數**。 **過圓外一點**：會有**兩條**切線。設斜率為 m 寫出點斜式，再用「圓心到此線距離 = r」解 m。要留意可能有一條是鉛直線（斜率不存在），設點斜式會漏掉它，記得單獨檢查。
**切線長**（圓外一點到切點的距離）有現成公式：√(d² − r²)，其中 d 是該點到圓心的距離。這直接來自半徑垂直切線所形成的直角三角形。
什麼時候用
判斷位置關係、求切線方程式、最短距離問題。
最容易錯的地方
- 設點斜式求切線時漏掉鉛直線那條。
- 切線斜率用成半徑斜率（應該是負倒數）。
- 切線長公式的相減順序寫反。
例題 · 3 題
先自己算，再看解答——這樣才有效。
- 1
圓心 (0,0)、半徑 5，圓心到直線距離 3，兩者關係是？（填相切、相離或相割）
- 2
圓半徑 3，圓外一點到圓心距離 5，切線長是多少？
- 3
圓 x²+y²=25 上一點 (3,4)，該點半徑斜率是 4/3，切線斜率是多少？（分數）