重心與中線

**重心**是三條**中線**（頂點到對邊中點的線段）的交點，永遠在三角形內部。

它最重要也最常考的性質是**分點比 2 : 1**： 重心把每條中線分成兩段，**靠頂點那段是靠對邊那段的兩倍**。

所以中線全長 12 時，分成 8 和 4——靠頂點是 8。方向記反是最常見的錯誤，可以這樣記：**頂點那邊「比較長」**，因為要平衡對面整條邊的重量。

這也解釋了「重心」這個名字：把三角形想成均勻的薄板，用一根針頂在重心，它會剛好平衡。物理上的質心與幾何上的中線交點在這裡重合。

**面積性質**也很好用：三條中線把三角形分成**六個面積相等**的小三角形。所以連接重心與三頂點所形成的三個三角形，面積各佔全體的 1/3。

中線本身也有一個常用性質：**任一條中線把三角形分成面積相等的兩半**（因為底相等、高相同）。

三種心的一句話總結： **外心**——中垂線交點，到頂點等距，位置會跑到外面； **內心**——角平分線交點，到邊等距，永遠在內部； **重心**——中線交點，2:1 分點，永遠在內部。