定積分的平均值

離散資料的平均是「總和除以個數」。但溫度、速度這類**連續變化**的量有無限多個值，沒辦法一個一個加。

積分正好解決這件事：積分就是連續版的求和。所以 **平均值 = (1/(b−a))·∫[a,b] f(x)dx**——總量除以區間長度。

幾何意義很漂亮：這個平均值 m 使得高度為 m 的**長方形面積**，剛好等於曲線下的面積。也就是把起伏的曲線「抹平」成一個等面積的矩形。

**均值定理**進一步保證：如果 f 在 [a,b] 連續，那麼**一定存在**某個 c 使得 f(c) 等於這個平均值。也就是說，函數真的會在某一刻取到它的平均值——開車途中一定有某個瞬間，你的瞬時速度剛好等於全程平均速度。

注意平均值跟「最大最小值的中點」完全不同。f(x) = x² 在 [0,3] 的最大最小是 9 和 0，中點是 4.5；但真正的平均值是 (1/3)(9) = 3，因為函數在小的區域待得比較久。

這個概念在物理（平均功率、均方根值）與經濟（平均成本）裡都直接用得上。