a = (3, 4)、b = (1, 0)，a 在 b 上的投影長是多少？

(a·b)/|b| = 3/1 = 3 答案：3

a = (2, 2)、b = (1, 0)，a 在 b 方向的分量向量是 (?, 0)

a·b = 2，|b|² = 1 投影向量 = 2 × (1,0) = (2, 0) 答案：2

a·b = −1，|b| = 1 投影長 = −1（負號表示與 b 反向）答案：-1

高二上📐 空間與形狀

a·b = −1，|b| = 1 投影長 = −1（負號表示與 b 反向） 答案：-1

Vector Decomposition and Projection

公式

a 在 b 上的投影長 = (a·b)/|b|

把一個向量拆成「沿著某方向」與「垂直該方向」兩份，這就是物理分力的數學。

先修

把向量 a 投影到 b 的方向上，得到的長度是 **(a·b)/|b|**，而投影**向量**是 **[(a·b)/|b|²]·b**。

注意兩者的差別：投影長是一個**純量**（可以是負的，表示方向相反），投影向量是一個**向量**（方向與 b 平行）。題目問哪一個要看清楚。

有了投影，就能把 a **分解**成兩個互相垂直的分量：一個平行於 b（就是投影向量），另一個垂直於 b（用 a 減掉投影向量得到）。這種分解在物理裡到處都是——斜面上的重力要分解成沿斜面與垂直斜面兩份，才能算摩擦力與加速度。

這也解釋了**功的定義** W = F·d 為什麼是內積：只有沿著位移方向的分力才做功，垂直的分力做功為零。所以搬著東西水平走路，重力對它不做功。

投影長的正負也有意義：正表示 a 與 b 夾銳角（同向成分）、負表示鈍角（反向成分）、零表示垂直（沒有沿 b 的成分）。

力的分解、求點到直線距離、正射影、最小平方法的幾何意義。

先自己算，再看解答——這樣才有效。