正弦疊合

a·sinθ + b·cosθ 這種混合式，可以合併成**單一個**正弦函數： **a·sinθ + b·cosθ = R·sin(θ + φ)**，其中 **R = √(a²+b²)**，φ 滿足 cos φ = a/R、sin φ = b/R。

推導就是和角公式反過來用：R·sin(θ+φ) = R·sinθcosφ + R·cosθsinφ，與原式比對係數即得。

這個技巧最大的價值是**求最大最小值**。因為 sin 的範圍是 [−1, 1]，所以： **最大值 = R = √(a²+b²)**、**最小值 = −R**。

例如 3sinθ + 4cosθ 的最大值是 √(9+16) = 5、最小值是 −5。不用微分、不用討論，一步到位。

這也是為什麼交流電、聲波、光波疊加後仍是同頻率的波——物理上稱為疊加原理，數學上就是這條公式。兩個同頻率的正弦波不管相位差多少，合起來還是同頻率，只是振幅和相位改變。

注意 R 一定取**正值**（它是振幅）。求 φ 時要同時看 cos φ 和 sin φ 的正負才能定出正確象限，只用 tan φ = b/a 會有兩個候選。