遞迴數列

遞迴數列不直接給一般項，而是給「首項 + 遞推關係」，例如 a₁ = 1、aₙ₊₁ = 2aₙ + 3。

這種形式很貼近真實世界：今年的存款 = 去年的本利和 + 今年的存入、下一代的族群數 = 這一代乘以成長率。

最常考的型態是 **aₙ₊₁ = p·aₙ + q**（p ≠ 1）。標準解法是找**不動點** k，也就是滿足 k = pk + q 的那個數（解得 k = q/(1−p)）。

然後把遞迴式兩邊都減 k：aₙ₊₁ − k = p(aₙ − k)。這代表 **{aₙ − k} 是公比為 p 的等比數列**！用等比的一般項就解出來了。

以 aₙ₊₁ = 2aₙ + 3 為例：不動點 k = 3/(1−2) = −3。所以 aₙ + 3 是公比 2 的等比數列，首項 a₁ + 3 = 4。因此 aₙ + 3 = 4·2ⁿ⁻¹，得 aₙ = 4·2ⁿ⁻¹ − 3。

驗算：a₁ = 4 − 3 = 1 ✓、a₂ = 8 − 3 = 5，而 2(1)+3 = 5 ✓。

另一種常見型態 aₙ₊₁ = aₙ + f(n) 用**逐項相加**（望遠鏡法）：把每一項的差累加起來就好。