兩直線斜率 1 和 −1，夾角是幾度？

m₁m₂ = −1，所以垂直。答案：90

兩直線斜率 1 和 0，夾角是幾度？

tanθ = |(1−0)/(1+0)| = 1 → θ = 45° 答案：45

兩式相加：2x − 2 = 0 → x = 1 答案：1

高二上📐 空間與形狀

m₁m₂ = −1，所以垂直。 答案：90

Angle Between Lines and Families of Lines

公式

tan θ = |(m₁ − m₂)/(1 + m₁m₂)|

夾角由兩斜率決定；通過兩直線交點的所有直線可以用一個參數表示。

先修

**兩直線的夾角**可以用斜率算：**tan θ = |(m₁ − m₂)/(1 + m₁m₂)|**。加絕對值是因為習慣取兩條直線的銳夾角。

這條公式其實包含了兩個熟悉的特例：分子為 0（m₁ = m₂）→ θ = 0 → **平行**；分母為 0（1 + m₁m₂ = 0，即 m₁m₂ = −1）→ tan θ 無定義 → θ = 90° → **垂直**。所以平行與垂直的條件不用另外背，它們就藏在這條公式裡。

有鉛直線（斜率不存在）時公式不能用，改用向量的內積求夾角比較保險。

**直線族**是另一個實用工具。已知兩直線 L₁: a₁x+b₁y+c₁ = 0 與 L₂: a₂x+b₂y+c₂ = 0 相交，則 **L₁ + k·L₂ = 0** 對任何 k 都表示一條**通過它們交點**的直線。

這招的價值是：想求「過兩直線交點且滿足某條件」的直線時，**不必先解出交點座標**。直接設成 L₁ + kL₂ = 0，再用那個條件定出 k 就好，計算量小很多。（唯一的限制是這個式子表示不出 L₂ 本身，必要時要另外檢查。）

求夾角、求過交點的特定直線、判斷三線共點。

先自己算，再看解答——這樣才有效。