反矩陣與克拉瑪公式

**反矩陣** A⁻¹ 滿足 A·A⁻¹ = I（單位矩陣），它存在的充要條件是 **det A ≠ 0**。

二階矩陣有簡潔公式：A = [[a,b],[c,d]] 時， **A⁻¹ = (1/(ad−bc))·[[d,−b],[−c,a]]**。 記法是「**主對角線對調、副對角線變號，再除以行列式**」。

有了反矩陣，聯立方程式 AX = B 可以寫成 **X = A⁻¹B**，一步解完。

**克拉瑪公式**提供另一條路，不必求反矩陣： x = detₓ/det、y = det_y/det， 其中 detₓ 是把係數矩陣的 **x 那一行換成常數項**後的行列式。

兩種方法都要求 **det ≠ 0**。det = 0 時代表無解或無限多解，必須改用高斯消去法討論。

矩陣運算有兩個和數字很不一樣的地方，要特別注意： **乘法不可交換**，AB ≠ BA； **沒有除法**，只有乘反矩陣，而且左乘右乘結果不同。所以解 AX = B 要**左乘** A⁻¹（寫成 A⁻¹AX = A⁻¹B），不能寫成 B/A。