內心與內切圓

**內心**是三個**角平分線**的交點。由角平分線的等距性質，它到**三邊**的距離相等——這個距離就是**內切圓半徑 r**。

跟外心不同，**內心永遠在三角形內部**。因為角平分線都往三角形裡面走，交點跑不出去。

**求內切圓半徑**有一個很漂亮的公式： **三角形面積 = r × s**，其中 s 是**半周長**（周長的一半）。

推導很直觀：把內心和三個頂點連起來，三角形被切成三個小三角形，它們的高都是 r、底分別是三邊。所以總面積 = (1/2)r(a+b+c) = r·s。

以 3-4-5 直角三角形為例：面積 = 6、半周長 = 6，所以 r = 6 ÷ 6 = **1**。

（直角三角形還有一個更快的公式：r = (a + b − c)/2，其中 c 是斜邊。代入得 (3+4−5)/2 = 1，一致。）

**內心的角度性質**也常考：∠BIC = 90° + (∠A)/2，其中 I 是內心。這條可以由角平分線與內角和推出來。

再強調一次最容易混的地方：**內心到邊、外心到點**。