高一下📊 資料與不確定性
貝氏定理
Bayes' Theorem
公式
P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B)
把條件反過來問。檢驗很準不代表陽性就一定有病——關鍵在盛行率。
白話解釋
條件機率問的是 P(B|A)，但現實中我們常常想反過來問 P(A|B)。貝氏定理就是做這個轉換的工具。
**P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B)**，其中分母通常要用**全機率公式**展開：P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|not A)P(not A)。
這裡有個著名的反直覺結果，值得算一次。假設某疾病盛行率 1%，檢驗的準確率是 99%（有病驗出陽性的機率 99%，沒病驗出陰性的機率也是 99%）。某人驗出陽性，他真的有病的機率是多少？
直覺會說 99%。實際算： 有病且陽性：0.01 × 0.99 = 0.0099 沒病但誤判陽性：0.99 × 0.01 = 0.0099 總陽性 = 0.0198 真的有病的機率 = 0.0099 / 0.0198 = **50%**
只有一半。原因是**沒病的人太多了**——雖然誤判率只有 1%，但 99% 的健康人裡的 1% 誤判，數量剛好跟真正的病人一樣多。
這解釋了為什麼罕見疾病的篩檢要複檢，也解釋了為什麼「這個檢驗 99% 準」這句話，在沒有說明盛行率之前幾乎沒有意義。
什麼時候用
醫學檢驗、垃圾郵件過濾、故障診斷、法庭證據評估。
最容易錯的地方
- 把 P(A|B) 和 P(B|A) 當成同一件事。
- 忽略基礎比率（盛行率），只看檢驗準確率。
- 分母忘記用全機率公式展開。
例題 · 3 題
先自己算，再看解答——這樣才有效。
- 1
盛行率 1%、準確率 99% 的檢驗，陽性者真的有病的機率是百分之幾？（只填數字）
- 2
P(B|A) = 0.8、P(A) = 0.25、P(B) = 0.4，P(A|B) = ？
- 3
甲袋 2 紅 1 白、乙袋 1 紅 2 白，隨機選一袋抽一球得紅球。來自甲袋的機率是多少？（最簡分數）