高三下∫ 微積分2 / 3
變數代換積分
公式 / 模板
令 u = g(x)，du = g′(x)dx
看到「某個式子和它的導數同時出現」就代換。定積分別忘了上下限也要換。
步驟
- 1找出被積分式中「某個式子 g(x) 與它的導數 g′(x) 同時出現」的結構。
- 2令 u = g(x)，算出 du = g′(x)dx。
- 3把整個積分式（包含 dx）全部換成 u 的形式，不能留下任何 x。
- 4若差一個常數倍，可在積分外乘除常數補回來。
- 5積出結果後，不定積分要把 u 換回 x；定積分則把上下限換成 u 的值。
跟著做一次
題目
∫2x(x²+1)⁵ dx
求積分。
- 1.令 u = x²+1，則 du = 2x dx。
- 2.積分變成 ∫u⁵ du。
- 3.= u⁶/6 + C。
- 4.換回去：(x²+1)⁶/6 + C。
答案(x^2+1)^6/6
題目
∫(2x+1)³ dx
分母是多少？
- 1.令 u = 2x+1，du = 2dx，所以 dx = du/2。
- 2.(1/2)∫u³ du = u⁴/8。
- 3.分母是 8。
答案8
換你試試
∫3x²(x³+2)⁴ dx = (x³+2)⁵ / ？