高三下∫ 微積分3 / 3
分部積分：用 LIATE 選 u
公式 / 模板
∫u dv = uv − ∫v du
選對 u 才會愈積愈簡單。優先序 LIATE：對數 > 反三角 > 多項式 > 三角 > 指數。
步驟
- 1確認被積分式是兩類函數的乘積。
- 2按 LIATE 順序挑 u：排在前面的當 u，剩下的當 dv。
- 3算出 du（微分 u）與 v（積分 dv）。
- 4代入 ∫u dv = uv − ∫v du，注意中間是減號。
- 5檢查新的積分是否比原來簡單——變複雜就代表 u 選反了，換過來。
- 6必要時重複使用，或在繞回原式時把原積分當未知數移項解出。
跟著做一次
題目
∫x·eˣ dx
求積分（形如 e^x(x−1)）。
- 1.A（多項式）排在 E（指數）前面，所以 u = x、dv = eˣdx。
- 2.du = dx、v = eˣ。
- 3.xeˣ − ∫eˣ dx = xeˣ − eˣ + C。
- 4.= eˣ(x − 1) + C。
答案e^x(x-1)
題目
∫ln x dx
求積分（形如 xlnx−x）。
- 1.L（對數）優先，u = ln x、dv = dx。
- 2.du = (1/x)dx、v = x。
- 3.x·lnx − ∫x·(1/x)dx = x·lnx − x + C。
答案xlnx-x
換你試試
∫x·eˣ dx 中，按 LIATE 應該選哪一個當 u？（填 x 或 e^x）